Изучение нумерации чисел и арифметических действий над числами.
2. Технологии формирования представлений о числе в различных образовательных системах обучения
3. Технология изучения чисел в концентрах сотня, тысяча и многозначных чисел
Нумерация- способ чтения и записи чисел.
Различают два вида нумерации – устную и письменную.
В соответствии с образовательным стандартом предусматривается знакомство детей и с римской непозиционной нумерацией.
- Принцип поразрядного счета
- Принцип поклассового объединения разрядов.
Принцип поразрядного счёта
Назвать какое-то натуральное число – это тоже, что назвать результат счета предметов по одному. Присваивая определенному количеству единиц название (одна, две, три, … девять), получим девять числительных. Если не воспользоваться принципом поразрядного счета – одним из величайших достижений математики, то для пересчета множества предметов с большой численностью потребуется придумать много числительных. Изложим основные его положения.
КРУГЛЫЕ ЧИСЛА
Принцип поклассового объединения разрядов
Согласно этому принципу каждые три разряда, начиная с первого, справа налево объединяются в класс. Каждому классу дается название: класс единиц, класс тысяч, класс миллионов и др. Разрядам, входящим в класс, присваивается название класса: разряд единиц тысяч, разряд десятков тысяч, разряд сотен тысяч и др. Заметим, что при названии разрядов, входящих в класс единиц, название класса опускается.
Чтобы прочитать число большее трехзначного, достаточно разбить его справа налево на классы, объединяя по три цифры в класс.
Письменная нумерация
В десятичной системе счисления для записи чисел используют десять знаков: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Цифры- знаки для записи чисел.
Запись чисел ведется на основе принципа поместного значения цифр: значение цифры зависит от места, занимаемого этой цифрой в записи числа. Например, в записи числа 848 первая справа цифра 8 означает восемь единиц в первом разряде или, что в разряде единиц будет 8 единиц, а третья справа 8 означает, что и в разряде сотен будет 8 единиц третьего разряда.
- читать, записывать, сравнивать, упорядочивать числа от нуля до миллиона;
- устанавливать закономерность – правило, по которому составлена числовая последовательность, и составлять последовательность по заданному или самостоятельно выбранному правилу (увеличение / уменьшение числа на несколько единиц, увеличение / уменьшение числа в несколько раз);
- группировать числа по заданному или самостоятельно установленному признаку.
Выпускник начальной школы получит возможность научиться:
- классифицировать числа по одному или нескольким основаниям, объяснять свои действия;
- выбирать единицу для измерения данной величины (длины, массы, площади, времени), объяснять свои действия.
Понятие числа и вопросы нумерации чисел являются основополагающими в курсе математики начальных классов. Построение всего курса математики зависит от того, какой математический подход к определению числа положен в основу формирования данного понятия.
- 1Теоретико-множественный подходСогласно данному подходу, число – это общее свойство эквивалентных между собой, непустых множеств.
- 2Аксиоматический подход
натуральное число трактуется как элемент множества, на котором установлено отношение «непосредственно следовать за …», удовлетворяющее четырем аксиомам Пеано и которое называют рядом натуральных чисел. Аксиомы Пеано упорядочивают ряд натуральных чисел.
- 3Понятие "число" вводится через измерение величинчисло характеризуется как отношение некоторой величины к его мерке
В большей части существующих образовательных систем обучения в качестве основного используется первый – теоретико-множественный подход к определению натурального числа.
В курсе математики начальных классов нумерация целых неотрицательных
чисел изучается по концентрам.
2. «Числа от 1 до 100», в котором выделяются два этапа: «Числа от 1 до 20» и «Числа от 21 до 100».
3. «Числа от 1 до 1000».
4. «Многозначные числа».
Кроме того, дети упражняются в последовательном назывании слов числительных от 1 до 10 и обратно. Отработка этих умений позволяет сформировать представление о натуральном числе как общем свойстве равномощных групп предметов (множеств).
Закрепление понятия числа можно осуществить через следующую совокупность заданий:
- Установление общего признака у групп предметов и обозначение этого признака числом.
- По заданному числу образовать (нарисовать, выложить на наборном полотне) группы предметов,обладающие этим признаком.
- Из заданной совокупности групп предметов разной природы выбрать из группы предметов, обладающие общим признаком, например, «иметь три предмета».
- Совокупность групп предметов разной природы разбить на классы так, чтобы в каждом классе группы предметов имели одинаковое число предметов, обозначить это число соответствующей цифрой.
- Установить соответствие между числом предметов в группе и цифрой, обозначающее число предметов в группе.
Счет – практическое действие по установлению взаимно-однозначного соответствия между элементами множества и отрезком ряда натуральных чисел, при котором:
- каждому элементу данного множества ставится в соответствие единственное натуральное число;
- каждый элемент второго множества является образом единственного элемента первого множества.
Из анализа определения вытекает следующее правило пересчета, с которым
дети знакомятся через совокупность целесообразно подобранных заданий.
- Счет предметов начинают с числа 1
- При счете нельзя пропускать ни одного элемента.
- Каждый элемент при счете надо посчитать только один раз.
(по программе Моро М.И. и соавторов)
- 1Дается задание на запоминание порядка чисел при счете. Практикуется прямой и обратный счет.
- 2Вводится понятие порядковый и количественный счет, а так же идет ознакомление с правилами пересчета предметов.
- 3Сравнение совокупностей предметов путем установления взаимно-однозначного соответствия и выражение результата сравнения словами «больше», «меньше», «столько же», позднее – «на сколько больше», «на сколько меньше».
- 4Выделение общего признака группы предметов одной численности (одинаковое число предметов) и обозначение численности на графической модели.
- 5Знакомство с числами от 1 до 10 по следующей схеме:
- Образование числа из предыдущего и единицы, последующего без единицы. Это действие выполняется на различных моделях: вещественной, графической, путем рассмотрения жизненных ситуаций.
- Вводится устная и письменная нумерация чисел. На данном этапе вводится печатная цифра, прописная цифра вводится по данной программе гораздо позже.
- Устанавливается количественное отношение данного числа с предшествующим и последующим. Эти отношения не фиксируются в символической записи, т.е. дети устанавливают, что изучаемое число, например, 3 больше 2-х на единицу, но знак сравнения не вводится.
- Изучаются порядковые отношения данного числа с предшествующими и последующими числами. Определяется место данного числа в ряду натуральных чисел. Идет сопоставление количественного и порядкового отношения.
Значительное место должно отводиться к подводящему диалогу, который состоит из системы вопросов и ответов, образцы, которых должен задавать учитель.
Как показывает практика, успех усвоения этой темы зависит от того, насколько логично учитель выстраивает систему вопросов и заданий, раскрывающих сущность формируемых понятий, и насколько при этом учитываются индивидуальные особенности ребенка, в том числе и его предшкольная подготовка.
Существующие программы и системы обучения отличаются подходами к изучению данной содержательной линии, последовательностью введения отдельных понятий, системой упражнений, обеспечивающей знакомство с вводимыми понятиями и их осознанное усвоение, используемой терминологией, методами организации познавательной деятельности детей и границей изучаемого отрезка ряда натуральных чисел.
Изучение данной содержательной линии в каждом из следующих концентров:
«Числа от 1 до 100», «Числа от 1 до 1000», «Многозначные числа» полезно рассматривать по следующему плану:
1. Введение новой счетной единицы – десяток (сотня, тысяча), ее название, формы графической модели.
2. Запись новой счетной единицы с помощью цифр 1и 0 (10; 100; 1000), введение понятия «разряд» (класс) и название разряда (класса), уяснение роли цифры, в том числе и цифры «ноль» в записи числа. (Цифра ноль в записи числа сохраняет разряд).
3. Знакомство с разрядными числами, входящими в изучаемый числовой концентр. Их название, запись и последовательность расположения в ряду чисел.
4. Установление взаимно-однозначного соответствия между различными моделями разрядных чисел (вещественной и символической; графической и символической, символической и графической и т.д.), а также разными формами символической записи чисел.
5. Сравнение, сложение и вычитание разрядных чисел (50 > 40; 60 – 20 = 40).
6. Образование двузначного, трехзначного, … многозначного числа путем перехода от вещественной модели к графической и обратно, затем к различным формам символической записи чисел:
– через перечень количества счетных единиц (2с. и 3дес. и еще 1ед. или короче: 2с.3дес.1ед.);
– с помощью суммы разрядных слагаемых (200 + 30 + 1);
– краткой символической записи числа (231).
7. Чтение и запись этих чисел в разрядной таблице и без нее.
8. Сравнение чисел. В каждом из концентров дополнительно к изученным правилам сравнения чисел водятся новые правила. Например, в концентре сотня вводится следующее правило сравнения двузначных чисел. «Любое однозначное число меньше любого двузначного. Сравнение двузначных чисел начинаем с единиц старшего разряда – разряда десятков.
9. Упражнения на сложение и вычитание, базирующиеся на принципе построения ряда натуральных чисел (230 – 1, 549 + 1, 600 – 1, 599 + 1)
1. Прочитать число 735. (Читаю – семьсот тридцать пять.)
- Представить число в виде суммы разрядных слагаемых (735 = 700 + 30 + 5).
4. Назвать число единиц в каждом разряде числа. (В этом числе в разряде сотен 7 единиц, в разряде десятков 3 единицы и в разряде единиц 5 единиц.)
5. Назвать непосредственно следующее и непосредственно предшествующее число для данного числа (соседей числа). Для числа 735 непосредственно предыдущим является число 734 и непосредственно следующим – 736.
Изучение нумерации чисел УМК "Школа России"
Подход к изучению нумерации чисел, который нашел отражение в учебниках по математике в УМК «Школа России»:Работа, целью которой является формирование представления о десятичной системе счисления, начинается в концентре «Сотня». Здесь выделяются две ступени.
Сначала изучается нумерация чисел 11-20, а затем 21-100. Выделение первой ступени (11-20) объясняется тем, что в названии каждого числа второго десятка наблюдается одна закономерность, а в записи другая. Так, называя число, мы произносим сначала количество единиц, а затем десятков. Например: один-на-дцать, три-на-дцать и т.д. Записывая число, сначала пишем цифру 1, обозначающую единицу в разряде десятков, а затем цифру, обозначающую единицы в разряде единиц. В двузначных числах второй ступени сначала называют, начиная слева направо, первое разрядное слагаемое, а затем второе (25 – двадцать пять). В каждой ступени сначала изучается устная нумерация, т.е. дети усваивают названия чисел, а затем письменная.
Изучение устной нумерации чисел второго десятка начинается с формирования у детей представления о новой счетной единице – «десятке».
Отсчитывая по десять палочек и завязывая их в пучки, обучающиеся узнают, что
десять единиц образуют одну единицу следующего разряда – «десяток». Затем,
выполняя упражнения в счете десятков палочек, сложении и вычитании десятков с
использованием пучков палочек, дети убеждаются, что десятки можно считать,
складывать и вычитать, как простые единицы.
Изучение нумерации чисел 21-100 осуществляется по тому же плану: сначала
устная нумерация, затем письменная. Одновременно ведется работа, связанная с усвоением принципа построения натурального ряда чисел и сравнение чисел.
Дальнейшее изучение нумерации продолжается в концентре «Тысяча».
Особенности десятичной системы счисления позволяют младшим школьникам осуществить перенос умения читать и записывать двузначные числа на область трехзначных чисел.
Появление нового разряда – разряда сотен связывается с введением новой
счетной единицы – «сотни».
Для этой цели используются те же приемы, которые имели место при разъяснении понятия «десяток», т.е. десять палочек связываются в пучок, получаем десяток. Если же 10 таких пучков объединить вместе, получим сотню (100). Усвоив, что «сотни» пишутся на третьем месте справа, дети сначала учатся называть круглые сотни (сто, двести, триста и т. д.). Затем, ориентируясь на названия разрядов (единицы, десятки и сотни), овладевают умением читать и записывать любое трехзначное число (см. правила чтения и записи трехзначных чисел выше).
Подход к изучению нумерации чисел в технологии Н.Б. Истоминой
В связи с тематическим построением курса в нем выделяются не концентры, а
темы: «Однозначные числа», «Двузначные числа», «Трехзначные числа», «Четырехзначные числа», «Пятизначные и шестизначные числа», в процессе изучения которых у обучающихся формируются сознательные навыки чтения и записи чисел.
Выделение тем, названия которых сориентированы на количество знаков в числе, способствует пониманию детьми различий между числом и цифрой
Числительное «десять» (1 десяток) обучающиеся используют для счета предметов. Но запись числа 10 вводится только в теме «Двузначные числа».
На первом уроке по этой теме обучающимся предлагаются картинки, на которых предметы расположены по десять в каждом ряду, и вопрос: «Можешь ли ты сказать, сколько предметов на каждой картинке?» Большинство детей самостоятельно находят способ действия – счет десятками – и приходят к выводу, что считать десятками можно так же, как единицами: 1 ед., 2 ед., 3 ед., 4 ед., ..., 1 дес., 2 дес., 3 дес., 4 дес. ... .
Пользуясь десятком как счетной единицей, обучающиеся легко определяют количество предметов на других картинках: 4 дес. и 3 ед.; 2 дес. и 4 ед.; 8 дес. и 8 ед.
Таким образом, работа по усвоению нумерации начинается с осознания того, что
двузначное число состоит из десятков и единиц.
Подход числа в чистом виде реализуется в системе обучения Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова.
При этом подходе «число» формируется
как отношение некоторой величины к своей мерке.
Логическое построение учебного
материала осуществляется по следующим этапам.
- 1Дочисловая деятельность направлена на освоение действия по непосредственному уравниванию непрерывных и дискретных величин (длина, масса, объем).
- 2Формируется понятие «число» на основе предметного действия, связанного с поиском кратного отношения величины к своей мерке. Фиксируются эти отношения вначале с помощью предметов, затем произвольно подобранных слов, и только после этого с помощью числительных, а затем и их записей с помощью цифр.
- 3На этом этапе идет дальнейшее совершенствование понятия числа, и рассматриваются арифметические действия с числами.
Данный подход «в чистом виде» не нашел широкого распространения в программах по математике в существующих образовательных системах. Он используется как дополнительный к формированию числа, как общего свойства класса непустых эквивалентных между собой множеств (теоретико-множественный подход к определению числа).
